Une particule libre.

On considère ici une particule libre, c'est à dire que le potentiel V(x)=0 pour tout x. Les états stationnaires d'une telle particule sont les ondes de de Broglie : $ \psi(x,t)=e^{ \frac{i}{\hbar}(px-Et)} $ avec $ E = \hbar\omega = \frac{p^2}{2m} $, où $ p $ est la quantité de mouvement (= impulsion), et $ E $ l'énergie (totale ou cinétique, ici cela revient au même).

Une onde de de Broglie.

On peut représenter graphiquement une telle onde, mais il faut bien réaliser que $ \psi(x,t) $ est une fonction complexe : on représente donc séparément sa partie réelle (en bleu), sa partie imaginaire (en vert), et son module (en rouge).
Remarque : les unités retenues sont arbitraires.

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On observe que le module est uniforme ; il en serait de même pour le carré du module, à savoir la densité de probabilité de présence.
Il faut réaliser que l'on a ici un état pour lequel l'impulsion $ p $ est parfaitement déterminée. En conséquence, l'incertitude sur la position est infinie : c'est bien sûr lié au fait que la densité de probabilité de présence est uniforme sur ℝ.
Par ailleurs la densité de probabilité de présence est indépendante du temps. C'est tout à fait normal, puisque l'on a à faire à un état stationnaire : par définition même, la probabilité de présence ne dépend pas du temps pour un état stationnaire.

Comparaison de deux ondes de de Broglie.

On représente ci-dessous, avec les mêmes conventions, deux ondes de de Broglie d'impulsions différentes $ p_1=1 $ et $ p_2=-3 $ (les unités sont arbitraires, et elles n'ont été décalées vers le haut et vers le bas que pour des raisons de lisibilité).

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On peut observer plusieurs choses importantes ici : le signe de $ p $ détermine bien sûr le sens de propagation de l'onde. Sa valeur absolue détermine la norme de la vitesse de propagation (il s'agit de la vitesse de phase), mais aussi la longueur d'onde, comme c'est très visible sur l'animation ci-dessus.
On visualise ici du même coup que l'on a à faire à un phénomène de propagation dispersif : la vitesse de phase dépend de la longueur d'onde (ou de la pulsation). Plus précisément, on vérifiera (théoriquement et sur l'animation) que la vitesse de phase est inversement proportionnelle à la longueur d'onde (l'équation de propagation n'est pas une équation de d'Alembert, il s'agit de l'équation de Schrödinger)
On remarquera également que la pulsation temporelle est 9 fois plus élevée (9=(-3)^2) pour l'onde du bas que pour celle du haut.
Les plus attentifs auront enfin remarqué un dernier point : dans tous les cas, c'est la partie imaginaire (courbe verte) qui est "en avance" sur la partie réelle (courbe bleue).

Paquet d'ondes.

Le "problème" avec une onde de de Broglie, c'est qu'elle ne peut représenter l'état physique d'une particule, puisqu'elle n'est pas normalisable (ce qui apparaît clairement ci-dessus : le module - et donc son carré - sont uniformes sur ℝ.
C'est pourquoi il est nécessaire de former ce que l'on appelle un "paquet d'ondes", à savoir la superposition d'un grand nombre (et, en pratique, une infinité) d'ondes de de Broglie. Cette superposition est "autorisée" par le fait que l'équation d'onde (de Schrödinger) est linéaire.
On écrira ainsi : $ \psi(x,t)=\int_{-\infty}^{+\infty} \hat\varphi(p) \exp\left( \frac{i}{\hbar}(px-Et) \right) dp $, où $ E(p)=\frac{p^2}{2m} $ ; $ \hat\varphi(p) $ représente ainsi l'amplitude complexe de l'onde de de Broglie d'impulsion $ p $ dans la superposition.

Paquet d'ondes gaussien.

Comme cas particulier, on peut considérer le paquet d'ondes gaussien : $ \hat\varphi(p) $ est alors une fonction gaussienne, centrée sur l'impulsion moyenne $ p_0 $, et de largeur caractéristique $ \Delta p $ : $$ \hat\varphi(p)=e^{-\frac{(p-p_0)^2}{(\Delta p)^2}} $$

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Remarques :

On observe ici sans ambiguïté que la propagation est dispersive. On peut même vérifier la relation $ v_g=2v_\varphi $ (à savoir démontrer/retrouver rapidement).
On comprend à la vue du module de la fonction d'onde que c'est la vitesse de groupe qui est "associée" à la vitesse de la particule associée : même si on n'a pas représenté la densité de probabilité de présence (à savoir le carré de la courbe rouge), il est clair que la "particule" est localisée dans la région, d'extension spatiale limitée, où la courbe rouge n'est pas négligeable.
Vous avez vu passer sur l'animation la seule "région" où la fonction d'onde n'est pas négligeable.
C'est lié au point précédent : cette fonction d'onde est maintenant tout à fait normalisable puisqu'elle est d'amplitude négligeable en dehors du "fuseau" central, qui est unique. Elle peut donc représenter l'état physique d'une particule.

Comparaison de deux paquets d'ondes gaussiens.

Comparons maintenant deux paquets d'ondes gaussiens du type précédent. Les deux paquets étudiés ici ont même largeur spectrale $ \Delta p $, mais des impulsions moyennes $ p_0 $ différentes (dans un rapport 2).

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Que constate-t-on ?

Comparaison de deux paquets d'ondes gaussiens.

On compare maintenant deux paquets d'onde gaussiens qui ont le même $ p_0=2\pi $, mais deux valeurs différentes pour la largeur $ \Delta p $ : $ \Delta p = \frac{p_0}{20} $ pour celui du haut et $ \Delta p = \frac{p_0}{5} $ pour celui du bas.

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Que constate-t-on maintenant ?

Les deux paquets d'onde ont la même longueur d'onde, la même vitesse de groupe, la même vitesse de phase (à observer attentivement) : c'est normal puisqu'ils ont la même impulsion "centrale" $ p_0 $
La différence la plus évidente vient de l'extension spatiale plus grande pour le premier paquet d'ondes (celui dont le $ \Delta p $ est le plus petit). Ce n'est rien d'autre qu'une conséquence de la relation d'incertitude de Heisenberg $ \Delta p \Delta x \ge \frac{\hbar}{2} $ ; le premier paquet est donc quatre fois plus "large" que le second.
Bien sûr, une conséquence de cette extension spatiale plus grande est une moindre amplitude : les deux fonctions d'onde sont normalisées, et l'échelle verticale est identique pour les deux. (Rappelons que la densité de probabilité de présence est le carré du module, et qu'elle n'est pas représentée ici : l'aire sous la courbe rouge, une fois mise au carré, doit être la même).

Pour aller un peu plus loin...

Mais il y a d'autres phénomènes intéressants, même avec un seul paquet d'ondes. On considère ici un paquet d'ondes large "spectralement" ( $\Delta p$ est égale à $\frac{p_0}{2}$ ).

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Que voit-on ?

Ce paquet d'ondes est constitué d'ondes de de Broglie individuelles dont les longueurs d'onde s'étalent sur un très large intervalle (autour de $\lambda_0=1$).
on voit, vers le début de l'animation, que les grandes longueurs d'onde sont « en tête »
mais elles ont une vitesse de phase plus petite que les longueurs d'onde plus courtes
les longueurs d'onde les plus courtes les « rattrapent » donc et les doublent
à la fin de l'animation, ce sont les longueurs d'onde les plus courtes qui sont en tête
ceci a pour conséquence très visible la déformation très importante de l'enveloppe du paquet d'ondes (ces phénomènes existaient déjà dans les animations précédentes mais étaient très discrets, et passaient donc facilement inaperçus)
tout au cours de la propagation, le $\Delta p$ ne change pas, mais on voit bien que le $\Delta x$ évolue, en passant par un minimum non nul. L'inégalité de Heisenberg $\Delta p.\Delta x\ge\frac{\hbar}{2}$ prend alors tout son sens : c'est bien une inégalité (l'égalité est vérifiée à l'instant où le paquet est le plus étroit spatialement).