Une particule libre.

On considère ici une particule libre, c'est à dire que le potentiel V(x)=0 pour tout x. Les états stationnaires d'une telle particule sont les ondes de de Broglie : \( \psi(x,t)=e^{ \frac{i}{\hbar}(px-Et)} \) avec \( E = \hbar\omega = \frac{p^2}{2m} \), où \( p \) est la quantité de mouvement (= impulsion), et \( E \) l'énergie (totale ou cinétique, ici cela revient au même).

Une onde de de Broglie.

On peut représenter graphiquement une telle onde, mais il faut bien réaliser que \( \psi(x,t) \) est une fonction complexe : on représente donc séparément sa partie réelle (en bleu), sa partie imaginaire (en vert), et son module (en rouge).
Remarque : les unités retenues sont arbitraires.
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On observe que le module est uniforme ; il en serait de même pour le carré du module, à savoir la densité de probabilité de présence.
Il faut réaliser que l'on a ici un état pour lequel l'impulsion \( p \) est parfaitement déterminée. En conséquence, l'incertitude sur la position est infinie : c'est bien sûr lié au fait que la densité de probabilité de présence est uniforme sur \( \mathbb{R} \).
Par ailleurs la densité de probabilité de présence est indépendante du temps. C'est tout à fait normal, puisque l'on a à faire à un état stationnaire : par définition même, la probabilité de présence ne dépend pas du temps pour un état stationnaire.

Comparaison de deux ondes de de Broglie.

On représente ci-dessous, avec les mêmes conventions, deux ondes de de Broglie d'impulsions différentes \( p_1=1 \) et \( p_2=-3 \) (les unités sont arbitraires, et elles n'ont été décalées vers le haut et vers le bas que pour des raisons de lisibilité).

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On peut observer plusieurs choses importantes ici : le signe de \( p \) détermine bien sûr le sens de propagation de l'onde. Sa valeur absolue détermine la norme de la vitesse de propagation (il s'agit de la vitesse de phase), mais aussi la longueur d'onde, comme c'est très visible sur l'animation ci-dessus.
On visualise ici du même coup que l'on a à faire à un phénomène de propagation dispersif : la vitesse de phase dépend de la longueur d'onde (ou de la pulsation). Plus précisément, on vérifiera (théoriquement et sur l'animation) que la vitesse de phase est inversement proportionnelle à la longueur d'onde (l'équation de propagation n'est pas une équation de d'Alembert, il s'agit de l'équation de Schrödinger)
Les plus attentifs auront remarqué un autre point : dans tous les cas, c'est la partie imaginaire (courbe verte) qui est "en avance" sur la partie réelle (courbe bleue).

Paquet d'ondes.

Le "problème" avec une onde de de Broglie, c'est qu'elle ne peut représenter l'état physique d'une particule, puisqu'elle n'est pas normalisable (ce qui apparaît clairement ci-dessus : le module - et donc son carré - sont uniformes sur \( \mathbb{R} \) ).
C'est pourquoi il est nécessaire de former ce que l'on appelle un "paquet d'ondes", à savoir la superposition d'un grand nombre (et, en pratique, une infinité) d'ondes de de Broglie. Cette superposition est "autorisée" par le fait que l'équation d'onde (de Schrödinger) est linéaire.
On écrira ainsi : \( \psi(x,t)=\int_{-\infty}^{+\infty} \hat\varphi(p) \exp\left( \frac{i}{\hbar}(px-Et) \right) dp \), où \( E(p)=\frac{p^2}{2m} \) ; \( \hat\varphi(p) \) représente ainsi l'amplitude complexe de l'onde de de Broglie d'impulsion \( p \) dans la superposition.

Paquet d'ondes gaussien.

Comme cas particulier, on peut considérer le paquet d'ondes gaussien : \( \hat\varphi(p) \) est alors une fonction gaussienne, centrée sur l'impulsion moyenne \( p_0 \), et d'écart-type \( \Delta p \) : $$ \hat\varphi(p)=e^{-\frac{(p-p_0)^2}{2(\Delta p)^2}} $$

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Remarques :

Comparaison de deux paquets d'ondes gaussiens.

Comparons maintenant deux paquets d'ondes gaussiens du style précédent : on a pris le même \( p_0=1 \) pour les deux paquets, mais deux valeurs différentes pour l'écart-type \( \Delta p \) : \( \Delta p_1 = 0,1 \) pour celui du haut et \( \Delta p_2 = \frac{\Delta p_1}{3} \) pour celui du bas.

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Que constate-t-on maintenant ?